Question

10．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{14}{3}$，|PF₂|=$\frac{4}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線(xiàn)l過(guò)圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓的方程即可．
（2）將求出圓心M的坐標(biāo)為（-2，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，推出x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，點(diǎn)A，B在橢圓上，利用平方差法求出直線(xiàn)的斜率，然后求解直線(xiàn)方程．

解答 解：（1）$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=\frac{14}{3}+\frac{4}{3}=6$，∴a=3（2分）
$|{{F_1}{F_2}}|=\sqrt{{{|{P{F_1}}|}^2}-{{|{P{F_2}}|}^2}}$=$2\sqrt{5}$∴$c=\sqrt{5}$從而$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=2$，
故橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$（6分）
（2）將圓M的方程配方得（x+2）²+（y-1）²=5，所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2（8分）
又點(diǎn)A，B在橢圓上，所以$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$①$\frac{{{x_2}^2}}{9}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$②，
①-②得：$\frac{{（{{x_1}+{x_2}}）（{{x_1}-{x_2}}）}}{9}+\frac{{（{{y_1}+{y_2}}）（{{y_1}-{y_2}}）}}{4}=0$，
所以$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{4（{{x_1}+{x_2}}）}}{{9（{{y_1}+{y_2}}）}}=\frac{8}{9}$（11分）
所以${k_{AB}}=\frac{8}{9}$，經(jīng)檢驗(yàn)${k_{AB}}=\frac{8}{9}$合題意．
故直線(xiàn)l的方程為8x-9y+25=0．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓方程的綜合應(yīng)用，圓的方程與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．