Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=6+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線與曲線C₁相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使得向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的方程可寫成（x-6）²+y²=4，過(guò)P（0，2）且斜率為k的直線方程為y=kx+2，代入曲線C₁的方程可得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于△＞0，解出即可．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線等價(jià)于-2（x₁+x₂）=6（y₁+y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系代入解出即可判斷出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的方程可寫成（x-6）²+y²=4，
過(guò)P（0，2）且斜率為k的直線方程為y=kx+2，
代入曲線C₁的方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，①
直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得$-\frac{3}{4}＜k＜0$，即k的取值范圍為$（{-\frac{3}{4}，0}）$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，
由方程①，${x_1}+{x_2}=-\frac{4（k-3）}{{1+{k^2}}}$，②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4，③
而$P（0，2），Q（6，0），\overrightarrow{PQ}=（6，-2）$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線等價(jià)于-2（x₁+x₂）=6（y₁+y₂），
將②③代入上式，解得$k=-\frac{3}{4}$．
由（Ⅰ）知$k∈（{-\frac{3}{4}，0}）$，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交問(wèn)題、向量共線定理、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．