Question

12．如圖，四棱錐E-ABCD中，側(cè)面EAB⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
AD∥BC，AB=BC=2AD，∠DAB=90°，△EAB是正三角形，F(xiàn)為EC的中點．
（Ⅰ）求證：DF∥平面EAB；
（Ⅱ）求證：DF⊥平面EBC．

Answer 1

分析 （I）設(shè)M為BE的中點，連結(jié)FM，AM，可證四邊形AMFD是平行四邊形，既有AM∥DF，又DF?平面EAB，AM?平面EAB，即可證明DF∥平面EAB．
（II）先證明BC⊥AB，可證BC⊥平面EAB，BC⊥AM，又BE⊥AM，從而可證AM⊥平面EBC，由AM∥DF，即可證明DF⊥平面EBC．

解答 （本小題共14分）
證明：（I）設(shè)M為BE的中點，連結(jié)FM，AM
∵F為EC的中點
∴FM∥BC，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$BC
∵AD∥BC，BC=2AD
∴四邊形AMFD是平行四邊形
∴AM∥DF                     …（6分）
又DF?平面EAB，AM?平面EAB
∴DF∥平面EAB
（II）∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴BC⊥AB
又側(cè)面EAB⊥底面ABCD，側(cè)面EAB∩底面ABCD=AB，AB?平面ABCD
∴BC⊥平面EAB，又AM?平面EAB
∴BC⊥AM
∵△EAB是正三角形，F(xiàn)為EC的中點
∴BE⊥AM
又BC∩BE=B，BC?平面EBC，BE?平面EBC
∴AM⊥平面EBC
∵AM∥DF
∴DF⊥平面EBC                                            …（14分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．