Question

1．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若b+c=4，求△ABC的周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，結合和差的正弦公式，化簡可得結論；
（2）利用余弦定理結合基本不等式，可求△ABC的周長的最小值．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
∴由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）由余弦定理a²=（b+c）²-3bc≥$\frac{1}{4}$（b+c）²（當且僅當b=c時取等號），
∴a≥2，
∴a+b+c=a+4≥6，
∴△ABC的周長的最小值為6．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查基本不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．