Question

6．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有正三棱柱ABC-A₁B₁C₁點(diǎn)是O、O₁分別是棱AC、A₁C₁的中點(diǎn)，且AA₁=$\sqrt{2}$，AB₁⊥BC₁．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．
（2）若M為BC₁的中點(diǎn)，求異面直線AM與BO所成角的余弦．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點(diǎn)D，連接BD，則C₁D⊥AB₁，證明△AA₁B₁∽△DB₁B，求出A₁B₁=2，即可求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）利用向量的夾角公式，即可求異面直線AM與BO所成角的余弦．

解答 解：（1）取A₁B₁的中點(diǎn)D，連接BD，則C₁D⊥AB₁，
∵AB₁⊥BC₁，BC₁∩C₁D=C₁，
∴AB₁⊥平面BC₁D，
∴AB₁⊥BD，
∴△AA₁B₁∽△DB₁B，
∵AA₁=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{D{B}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{\sqrt{2}}$，
∴A₁B₁=2，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
（2）由題意，A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），O（0，0，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{OB}$=（$\sqrt{3}$，0，0），
∴異面直線AM與BO所成角的余弦=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直，考查正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積、求異面直線AM與BO所成角的余弦，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．