Question

12．已知$f（α）=\frac{{sin（α-π）cos（2π-α）cos（-α+\frac{3}{2}π）}}{{cos（\frac{π}{2}-α）sin（-π-α）}}$
（1）化簡(jiǎn)f（α）；
（2）若$f（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{7}$，$-\frac{π}{2}＜θ＜\frac{π}{2}$，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可得到f（α）；
（2）利用$f（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{7}$，$-\frac{π}{2}＜θ＜\frac{π}{2}$，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求出余弦函數(shù)值，然后求cos2θ的值．

解答 解：（1）$f（α）=\frac{{sin（α-π）cos（2π-α）cos（-α+\frac{3}{2}π）}}{{cos（\frac{π}{2}-α）sin（-π-α）}}$=$\frac{sinαcosαsinα}{sinαsinα}$=cosα．
∴f（α）=cosα…（6分）
（2）∵f（α）=cosα，$f（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{7}$，可得cos（$θ-\frac{π}{3}$）=$-\frac{1}{7}$，
$\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ=-\frac{1}{7}$，sin²θ+cos²θ=1，$-\frac{π}{2}＜θ＜\frac{π}{2}$，解得$cosθ=\frac{11}{14}$，
∴$cos2θ=2{cos}^{2}θ-1=\frac{23}{98}$…（6分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．