Question

8．已知數(shù)列{a_n}是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列（a＞0，a≠1），令b_n=a_n1ga_n，若{b_n}中的每一項總小于它后面的一項，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （1，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先求出數(shù)列{a_n}以及數(shù)列{b_n}的通項，利用條件得到關于n和a的不等式，分0＜a＜1和a＞1兩種情況分別解不等式即可．

解答 解：由題得：a_n=a•a^n-1=aⁿ，b_n=na_nlga=naⁿlga．
由b_n＜b_n+1⇒nlga•aⁿ＜（n+1）lga•aⁿ⁺¹⇒lga•aⁿ[n-（n+1）a]＜0．
當0＜a＜1時，lga＜0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＞0⇒a＜$\frac{n}{n+1}$，故0＜a＜$\frac{n}{n+1}$；
當a＞1時，lga＞0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＜0⇒a＞$\frac{n}{n+1}$，故a＞1．
∴a的取值范圍是a＞1或0＜a＜$\frac{n}{n+1}$，
∵n+1≤2n，∴$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范圍是a＞1或0＜a＜$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．