Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a_n+1=$\frac{{2015a}_{n}}{{2013a}_{n}+2015}$，n∈N^*，a₁=1，則a₂₀₁₆的值為$\frac{1}{2014}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{2015a}_{n}}{{2013a}_{n}+2015}$，n∈N^*，a₁=1，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2013}{2015}$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{2015a}_{n}}{{2013a}_{n}+2015}$，n∈N^*，a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2013}{2015}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2013}{2015}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為$\frac{2013}{2015}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2013}{2015}（n-1）$=$\frac{2013n+2}{2015}$，
∴a_n=$\frac{2015}{2013n+2}$．
則a₂₀₁₆=$\frac{2015}{2013×2016+2}$=$\frac{1}{2014}$．
故答案為：$\frac{1}{2014}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．