Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（I）a=-4時，若關(guān)于x的方程|f（x）|=1在區(qū)間[0，4]內(nèi)有四個不同的根，求b的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值為M（a，b），求證：當(dāng)一8≤a≤0時，有M（a，b）≥$\frac{1}{8}$a²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=-4代入f（x）的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于b的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的對稱軸的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到M（a，b）=max{f（0），|f（-$\frac{a}{2}$）|}，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）a=-4時，f（x）=x²-4x+b，
令y=|f（x）|，
若關(guān)于x的方程|f（x）|=1在區(qū)間[0，4]內(nèi)有四個不同的根，
則f（x）_min=f（2）=b-4＜-1①，
且f（0）=f（4）=b＞1②，
由①②解得：1＜b＜3；
（Ⅱ）-8≤a≤0時，0≤-$\frac{a}{2}$≤4，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸在區(qū)間[0，4]上，
∴M（a，b）=max{f（0），|f（-$\frac{a}{2}$）|}={b，|b-$\frac{{a}^{2}}{4}$|}≥$\frac{1}{2}$|b-b+$\frac{{a}^{2}}{4}$|=$\frac{1}{8}$a²．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的證明問題，是一道中檔題．