Question

18．已知函數(shù)f（x）=cosωx（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx）（ω＞0），如果存在實(shí)數(shù)x₀，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，則ω的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{2016π}$
• B． $\frac{1}{4032π}$
• C． $\frac{1}{2016}$
• D． $\frac{1}{4032}$

Answer 1

分析 由題意可得區(qū)間[x₀，x₀+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間，利用兩角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再根據(jù)2016π≥$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2ω}$，求得ω的最小值．

解答 解：由題意可得，f（x₀）是函數(shù)f（x）的最小值，f（x₀+2016π）是函數(shù)f（x）的最大值．
顯然要使結(jié)論成立，只需保證區(qū)間[x₀，x₀+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間即可．
又f（x）=cosωx（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx）=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\sqrt{3}$$•\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故2016π≥$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2ω}$，求得ω≥$\frac{1}{4032}$，
故則ω的最小值為$\frac{1}{4032}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬于中檔題．