Question

10．已知A點坐標為（-1，0），B點坐標為（1，0），且動點M到A點的距離是4，線段MB的垂直平分線l交線段MA于點P．（1）求動點P的軌跡C方程；
（2）若P是曲線C上的點，求k=|PA|•|PB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據題意畫出圖形，利用垂直平分線轉換線段的關系得到|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=4，據橢圓的定義即可得到動點P的軌跡方程．
（2）利用配方法，即可得出結論．

解答 解：（1）由線段MB的垂直平分線l交MA于點P知，PB=PM
故|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=4，
即P點的軌跡為以A、B為焦點的橢圓，中心為（0，0），
故P點的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵|PA|+|PB|=4，
∴k=|PA|•|PB|=|PA|•（4-|PA|）=-（|PA|-2）²+4，
∵1≤|PA|≤3，
∴|PA|=2，k=|PA|•|PB|取最大值4；|PA|=1或，k=|PA|•|PB|取最小值3．

點評 定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程．