Question

2．如圖，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若平面a平行于該正方體的體對角線BD，則平面a在該正方體上截得的圖形不可能為②③④（填序號）
①正方形；②正三角形；③正六邊形；④直角梯形．

Answer 1

分析 當平面a在該正方體上截得的圖形為正三角形或正六邊形時，平面與對角線BD一定不平行；正方體各面全等，并且每條對邊互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，兩條腰也不平行，從而得到平面a在該正方體上截得的圖形不可能為直角梯形．

解答 解：①當平面a過一條棱且與對角線BD平行時，
平面a在該正方體上截得的圖形有可能為正方體；
②一個平面只有過正方體一個頂點和相對面的對角線以內的范圍內的線，
去截正方體才有可能得到正三角形，圖形如右圖，
但此時這個平面與正方體的對角線BD不平行，
故平面a在該正方體上截得的圖形不可能為正三角形；
③當平面截正方體的截面圖形為正六邊形時，
截面要經過六條棱的中點，圖形如右圖，
此時平面與對角線BD一定不平行，
故平面a在該正方體上截得的圖形不可能為正六邊形；
④正方體各面全等，并且每條對邊互相平行，
但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，兩條腰也不平行，
∴平面a在該正方體上截得的圖形不可能為直角梯形．
故答案為：②③④．

點評 本題考查平面a在該正方體上截得的圖形形狀的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意正方體的結構特征的合理運用．