Question

14．已知兩點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足|$\overrightarrow{MN}$||$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)N的直線l的斜率為k，且與曲線C相交于點(diǎn)S、T，若S、T兩點(diǎn)只在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，線段ST的垂直平分線交x軸于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)題意有 4$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+y}^{2}}$+4（x-2）=0，整理得點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），把ST的方程與y²=-8x聯(lián)立消元，利用韋達(dá)定理以及判別式大于零，求得-1＜k＜0．求得線段ST中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，-$\frac{4}{k}$），可得線段ST的垂直平分線方程為y+$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2）．令y=0得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜-6，即為Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)題意則有：
$\overrightarrow{MN}$=（4，0），|$\overrightarrow{MN}$|=4，|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+y}^{2}}$，$\overrightarrow{NP}$=（x-2，y），
代入|$\overrightarrow{MN}$||$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0，得：4$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+y}^{2}}$+4（x-2）=0．
整理得點(diǎn)P的軌跡C的方程：y²=-8x．
（2）設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由題意得：ST的方程為y=k（x-2）（顯然k≠0），
與y²=-8x聯(lián)立消元得：ky²+8y+16k=0，則有：y₁+y₂=-$\frac{8}{k}$，y₁•y₂=16．
因?yàn)橹本�交軌跡C于兩點(diǎn)，△=b²-4ac=64-64k²＞0，
再由y₁＞0，y₂＞0，則-$\frac{8}{k}$＞0，故-1＜k＜0．
可求得線段ST中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，-$\frac{4}{k}$），
所以線段ST的垂直平分線方程為
y+$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2）．令y=0得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$，
x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜-6．，所以Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（-∞，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線相交的性質(zhì)，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．