Question

2．已知函數(shù)f（x）=lg$\sqrt{x+1}$，g（x）=lg（2x+t）（t為參數(shù)）．
（1）當(dāng)函數(shù)g（x）在x∈[0，1]上恒有意義時，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）如果當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的概念得出$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{2+t＞0}\end{array}\right.$求解即可．
（2）轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{\sqrt{x+1}≤2x+t}\end{array}\right.$設(shè)m=$\sqrt{x+1}$，x=m²-1，1$≤m≤\sqrt{2}$，構(gòu)造函數(shù)y=-m²+m+2，1$≤m≤\sqrt{2}$轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可．

解答 解：∵g（x）=lg（2x+t）（t為參數(shù)）．
（1）函數(shù)g（x）在x∈[0，1]上恒有意義
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{2+t＞0}\end{array}\right.$
即t＞0
故實數(shù)t的取值范圍：t＞0
（2）∵函數(shù)f（x）=lg$\sqrt{x+1}$，g（x）=lg（2x+t）（t為參數(shù)）．
x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{\sqrt{x+1}≤2x+t}\end{array}\right.$
設(shè)m=$\sqrt{x+1}$，x=m²-1，1$≤m≤\sqrt{2}$
即可代入得出：-m²+m+2≤t
令y=-m²+m+2，1$≤m≤\sqrt{2}$
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出：$\sqrt{2}≤y≤2$
∴只需t≥2即可
故實數(shù)t的取值范圍：t≥2．

點評 本題考察了函數(shù)不等式的運(yùn)用，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解最值，解決不等式恒成立問題，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，注意變量的范圍．