Question

17．已知函數f（x）=ax²-2ax+3-b（a≠0）在[1，3]有最大值5和最小值2，求a、b的值．

Answer 1

分析 f（x）=a（x-1）²+3-a-b．對a分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：f（x）=a（x-1）²+3-a-b．
①當a＞0時，函數f（x）在[1，3]上單調遞增，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a-b=2}\\{f（3）=9a-6a+3-b=5}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{1}{4}$．
②當a＜0時，函數f（x）在[1，3]上單調遞減，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a-b=5}\\{f（3）=9a-6a+3-b=2}\end{array}\right.$，解得a=$-\frac{3}{4}$，b=$-\frac{5}{4}$．
綜上，a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{1}{4}$或a=$-\frac{3}{4}$，b=$-\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了二次函數的單調性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．