Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n≥1），則a₂₀₁₆=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通過(guò)計(jì)算出前幾項(xiàng)的值確定周期，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=3，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1+3}{1-3}$=-2，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-2}{1+2}$=$-\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的周期數(shù)列，
又∵2016=504×4，
∴a₂₀₁₆=a₄=-$\frac{1}{3}$，
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．