Question

15．設a為實數(shù)，f（x）=lnx-ax
（I）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，在定義域下令導函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．
（Ⅱ）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調區(qū)間的關系確定函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=lnx-x，定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＜0得x＞1，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）=lnx-x的單調減區(qū)間是（1，+∞），單調遞增區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵x＞0，所以當a≤0時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
函數(shù)無極值；
當a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上f′（x）＞0，
f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）的極大值是f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1．

點評 本題主要考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．求函數(shù)的單調區(qū)間，應該先求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．