Question

9．已知n=∫${\;}_{0}^{2}$（$\frac{2}{π}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$+2x）dx，則二項(xiàng)式（x²-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中含x³的系數(shù)為-160（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 利用定積分求出n，然后利用二項(xiàng)式定理求解展開式中的x³的系數(shù)．

解答 解：n=∫${\;}_{0}^{2}$（$\frac{2}{π}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$+2x）dx=$\frac{2}{π}×\frac{1}{4}π×{2}^{2}$+${x}^{2}{|}_{0}^{2}$=2+4=6，
二項(xiàng)式（x²-$\frac{2}{x}$）⁶展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=C₆^r•（-2）^r•x^12-3r，
令12-3r=3，求得r=3，∴二項(xiàng)式（x²-$\frac{2}{x}$）⁶展開式中的x³項(xiàng)的系數(shù)為C₆³•（-8）=-160，
故答案為：-160．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理與微積分基本定理，著重考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，考查理解與運(yùn)算的能力，屬于中檔題．