Question

10．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，AB⊥BC，BB₁⊥平面ABC，D為AC的中點，E為CC₁的中點．
（1）求證AC₁∥平面BDE；
（2）求證：AC₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）由已知根據(jù)中位線定理可得DE∥AC₁，又DE?平面BDE，AC₁?平面BDE，由線面平行的判定定理即可證明．
（2）D為AC的中點，可證∠AA₁D=∠CAC₁，∠CAC₁+∠ADA₁=90°，從而可得AC₁⊥A₁D，又AC₁⊥BD，即可證明AC₁⊥平面A₁BD．

解答 證明：（1）∵D為AC的中點，E為CC₁的中點，
∴DE∥AC₁，又DE?平面BDE，AC₁?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE；…6分
（2）D為AC的中點，則tan∠AA₁D=$\frac{AD}{A{A}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan$∠CA{C}_{1}=\frac{C{C}_{1}}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則∠AA₁D=∠CAC₁，那么∠CAC₁+∠ADA₁=90°，AC₁⊥A₁D，
又AC₁⊥BD，所以AC₁⊥平面A₁BD…12分

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．