Question

6．已知圓C與y軸相切，圓心C（1，-2）
（1）求圓C的方程
（2）是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由所求圓與y軸相切，得到圓心的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為圓的半徑，進(jìn)而由圓心C的坐標(biāo)和求出的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，方程為y=x+m，由直線與圓C相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線與圓的方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合OA⊥OB，求m的值即可．

解答 解：（1）∵圓心C的坐標(biāo)為（1，-2），且所求圓與y軸相切，
∴圓的半徑r|=1，
則所求圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=1；
（2）設(shè)存在滿足題意的直線，且此直線方程為y=x+m，
直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由OA⊥OB，得k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0；
由y=x+m與（x-1）²+（y+2）²=1，消去y得，
2x²+2（m+1）x+m²+4m+4=0，
∴x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²+4m+4）
又∵x₁x₂+y₁y₂=0，
y₁=x₁+m，y₂=x₂+m；
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，
即2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0；
∴m²+4m+4-m（m+1）+m²=0，
∴m²+3m+4=0
△＜0，∴不存在滿足題意的直線．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，其中根據(jù)題意得到圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．