Question

9．等比數(shù)列{a_n}中，${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={2^n}-1$，則$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$=（　　）

• A． （2ⁿ-1）²
• B． $\frac{1}{3}（{2^n}-1）$
• C． $\frac{1}{3}（4-\frac{1}{{{4^{n-1}}}}）$
• D． $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$

Answer 1

分析 可得等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可得數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可得．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={2^n}-1$，
∴a₁=2¹-1=1，a₁+a₂=2²-1=3，∴a₂=2，故公比q=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$=$\frac{1×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$（4-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，得出數(shù)列的首項(xiàng)和公比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．