Question

3．已知關于x的方程：x²+2（a-1）x+2a+6=0．
（Ⅰ）若該方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若該方程有兩個不等實數(shù)根，且這兩個根都大于1，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2a+6，x∈[-1，1]，記此函數(shù)的最大值為M（a），最小值為N（a），求M（a），N（a）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方程有兩個不等實數(shù)根，從而判別式△＞0，這樣便可得出a＜-1，或a＞5，即得出了實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）該方程有兩個不等實數(shù)根，且這兩個根都大于1，從而判別式△＞0，由（Ⅰ）知a＜-1，或a＞5，并且小根滿足大于1，即$\frac{2（1-a）-\sqrt{4（a-1）^{2}-4（2a+6）}}{2}＞1$，解出該不等式，再根據(jù)a還需滿足a＜-1，或a＞5即可得出實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）先求f（x）的對稱軸，x=1-a，討論1-a和區(qū)間[-1，1]的關系：分1-a≤-1，-1＜1-a≤0，0＜1-a＜1，和1-a≥1四種情況，在每種情況里，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點情況及端點值的比較，便可得出f（x）在[-1，1]上的最大值，和最小值，最后便可寫出M（a），N（a）．

解答 解：（Ⅰ）該方程有兩個不等實數(shù)根；
∴△=4（a-1）²-4（2a+6）＞0；
解得a＜-1，或a＞5；
（Ⅱ）該方程有兩個不等實數(shù)根，根據(jù)（Ⅰ）便知，a＜-1，或a＞5；
且這兩個根都大于1；
∴$\frac{2（1-a）-\sqrt{4（a-1）^{2}-4（2a+6）}}{2}＞1$；
即$-2a＞\sqrt{4（{a}^{2}-4a-5）}$；
∴$-a＞\sqrt{{a}^{2}-4a-5}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a}^{2}＞{a}^{2}-4a-5}\end{array}\right.$；
解得$-\frac{5}{4}＜a＜0$；
∴$-\frac{5}{4}＜a＜-1$；
∴實數(shù)a的取值范圍為（$-\frac{5}{4}$，-1）；
（Ⅲ）f（x）的對稱軸為x=1-a；
∴①1-a≤-1，即a≥2時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（-1）=9；
②-1＜1-a≤0，即1≤a＜2時，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1-a）=-a²+4a+5；
③0＜1-a＜1，即0＜a＜1時，M（a）=f（-1）=9，N（a）=f（1-a）=-a²+4a+5；
④1-a≥1，即a≤0時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴M（a）=f（-1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；
∴綜上得，$M（a）=\left\{\begin{array}{l}{9}&{a＜1}\\{4a+5}&{a≥1}\end{array}\right.$，$N（a）=\left\{\begin{array}{l}{4a+5}&{a≤0}\\{-{a}^{2}+4a+5}&{0＜a＜2}\\{9}&{a≥2}\end{array}\right.$．

點評 考查一元二次方程有兩個不等實數(shù)根時判別式△的取值情況，一元二次方程的求根公式，二次函數(shù)的對稱軸，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點情況，及對端點值的比較，從而得出函數(shù)最值的方法．