Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，點E在PC上，且PE=$\frac{1}{2}$EC，點F是PD的中點．
（1）求證：PC⊥AF；
（2）求三棱錐A-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）要證PC⊥AF，因為PC?面PCD，可證AF⊥面PCD，由已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，易得AF⊥CD，再由PA=AD，點F是棱PD的中點得到AF⊥PD，則問題得證；
（2）轉換底面，求三棱錐A-CEF的體積．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵PC?平面PDC，∴PC⊥AF；
（2）解：連接BD，則BD⊥AC，
∵BD⊥PA，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴D到平面PAC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵點F是PD的中點，
∴F到平面PAC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵點E在PC上，且PE=$\frac{1}{2}$EC，
∴S_△EAC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴三棱錐A-CEF的體積V=V_F-EAC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1}{18}$．

點評 本題考查了由線面垂直得線線垂直，考查了三棱錐A-CEF的體積，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．