Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，-1），$\overrightarrow$（$\sqrt{3}$sinωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$+3 圖象的一條對稱軸與其最近的一個對稱中心的距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，b=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（$\frac{c}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，求邊c的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)向量的數(shù)量積求出函數(shù)的關(guān)系式，再把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦形式，再利用函數(shù)的周期求出函數(shù)的解析式．
（2）利用上步的結(jié)果，先求出C的大小，進一步利用三角形的面積公式求出a的值，在利用余弦定理求出c的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，-1），$\overrightarrow$（$\sqrt{3}$sinωx，1）（ω＞0），
函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$+3
=（cosωx-$\sqrt{3}$sinωx，-2）•（$\sqrt{3}$sinωx，1）+3
=$\sqrt{3}sin（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$
由于：函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$+3 圖象的一條對稱軸與其最近的一個對稱中心的距離為$\frac{π}{4}$．
所以函數(shù)的最小正周期為π．
所以：$T=\frac{2π}{2ω}=π$，
解得：ω=1．
所以函數(shù)的解析式為：f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$ 
（2）由（1）得：f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$
所以：f（$\frac{c}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
整理得：$\sqrt{3}sin（C+\frac{2π}{3}）-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
所以：$sin（C+\frac{2π}{3}）=\frac{1}{2}$
由于：0＜C＜π
所以：$\frac{2π}{3}＜C+\frac{2π}{3}＜\frac{5π}{3}$
則：$C+\frac{2π}{3}=\frac{5π}{6}$
解得：C=$\frac{π}{6}$，
由于：${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}a•\sqrt{3}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
解得：a=2．
由余弦定理得：$c=\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$   
解得：c=1．

點評 本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積的應(yīng)用．三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用函數(shù)的周期求函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的定義域求角的大小，三角形面積公式的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用．