Question

9．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0，1]上單調(diào)遞減的函數(shù)是（　�。�

• A． y=-x²+2x
• B． y=x+$\frac{1}{x}$
• C． y=2^x-2^-x
• D． y=1-$\sqrt{x}$

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性，奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)定義域的特點，以及增函數(shù)的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項．

解答 解：A．y=-x²+2x的圖象不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
B.$y=x+\frac{1}{x}$的定義域為{x|x≠0}，且$-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）$；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
$y′=\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，x∈（0，1]時，y′≤0；
∴該函數(shù)在（0，1]上單調(diào)遞減，∴該選項正確；
C．y=2^x-2^-x，x增大時，-x減小，2^-x減小，-2^-x增大，且2^x增大，∴y增大；
∴該函數(shù)在（0，1]上單調(diào)遞增，∴該選項錯誤；
D．y=1-$\sqrt{x}$的定義域為[0，+∞），不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤．
故選：B．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)定義域的特點，奇函數(shù)的圖象的對稱性，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，增函數(shù)的定義．