Question

11．函數(shù)y=$\frac{\sqrt{x+2}}{x+3}$的值域是$[0，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由x+2≥0，x+3≠0，解得x≥-2，可得函數(shù)的定義域．令$\sqrt{x+2}$=t≥0，則x=t²-2．可得y=f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+1}$，對(duì)t分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由x+2≥0，x+3≠0，解得x≥-2，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥-2}．
令$\sqrt{x+2}$=t≥0，則x=t²-2．
∴y=f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+1}$，當(dāng)t=0時(shí)，f（0）=0．
當(dāng)t＞0時(shí)，f（t）=$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=$\frac{1}{2}$．
綜上可得函數(shù)y=$\frac{\sqrt{x+2}}{x+3}$的值域是$[0，\frac{1}{2}]$．
故答案為：$[0，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域、基本不等式的性質(zhì)、“換元法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．