Question

12．已知△A₁B₁C₁的三內角余弦值分別等于△A₂B₂C₂三內角的正弦值，那么兩個三角形六個內角中的最大值為鈍角．

Answer 1

分析 由題意可知cosA₁=sinA₂，cosB₁=sinB₂＞0，cosC₁=sinC₂，從而A₁，B₁，C₁均為銳角，從而得到△A₂B₂C₂不可能是直角三角形．假設△A₂B₂C₂是銳角三角形，推導出π=$\frac{π}{2}$，不成立，從而△A₂B₂C₂是鈍角三角形，由此能求出兩個三角形六個內角中的最大值為鈍角．

解答 解：∵△A₁B₁C₁的三內角余弦值分別等于△A₂B₂C₂三內角的正弦值，
∴由題意可知cosA₁=sinA₂，cosB₁=sinB₂＞0，cosC₁=sinC₂，
∴A₁，B₁，C₁均為銳角，
∴△A₁B₁C₁為銳角三角形，
∵A₁，B₁，C₁∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosA₁，cosB₁，cosC₁∈（0，1）
∴sinA₂，sinB₂，sinC₂∈（0，1）
∴A₂，B₂，C₂≠$\frac{π}{2}$，
∴△A₂B₂C₂不可能是直角三角形．
假設△A₂B₂C₂是銳角三角形，
則cosA₁=sinA₂=cos（$\frac{π}{2}-$A₂），cosB₁=sinB₂=cos（$\frac{π}{2}$-B₂），cosC₁=sinC₂=cos（$\frac{π}{2}$-C₂），
∵A₂，B₂，C₂均為銳角，∴$\frac{π}{2}$-A₂，$\frac{π}{2}$-B₂，$\frac{π}{2}$-C₂也為銳角，
又∵A₁，B₁，C₁均為銳角，∴A₁=$\frac{π}{2}$-A₂，B₁=$\frac{π}{2}$-B₂，C₁=$\frac{π}{2}$-C₂
三式相加得π=$\frac{π}{2}$，不成立
∴假設不成立，△A₂B₂C₂不是銳角三角形
綜上，△A₂B₂C₂是鈍角三角形．
∴兩個三角形六個內角中的最大值為鈍角．
故答案為：鈍角．

點評 本題考查兩個三角形六個內角中的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)性質的合理運用．