Question

16．已知f（x）=x²-a|x-1|+b（a＞0，b＞-1）
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最小值m（a）；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)不同的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，且落在區(qū)間[0，1），（1，2]內(nèi)各一個(gè)，求a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)0≤x≤1時(shí)，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，同時(shí)對(duì)a討論，可得f（x）的單調(diào)性，可得最小值；
（2）將f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)式，討論當(dāng)0≤x＜1時(shí)，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，可得不等式組，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）b=0，a＞2時(shí)，f（x）=x²-a|x-1|，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²+ax-a，且在[0，1]遞增，
可得f（0）取得最小值-a；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）=x²-ax+a，$\frac{a}{2}$＞1，
當(dāng)a＞4時(shí)，$\frac{a}{2}$＞2，在（1，2]遞減，可得最小值f（2）=4-a；
當(dāng)2＜a≤4時(shí)，1＜$\frac{a}{2}$≤2，可得f（$\frac{a}{2}$）取得最小值，且為a-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
由-a＜4-a，a-$\frac{{a}^{2}}{4}$-（-a）=$\frac{a（8-a）}{4}$＞0（2＜a≤4），
即有a-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞-a．
綜上可得，m（a）=-a；
（2）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+b-a，0≤x＜1}\\{{x}^{2}-ax+a+b，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）遞增，可得f（0）f（1）≤0，
即為（b-a）（1+b）≤0①
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，可得f（1）f（2）≤0或f（$\frac{a}{2}$）=0（2＜a≤4），
即為（1+b）（4-a+b）≤0或b=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a②
由$\left\{\begin{array}{l}{1+b≥0}\\{b-a≤0}\\{4-a+b≤0}\end{array}\right.$或a-b=$\frac{8a-{a}^{2}}{4}$（2＜a≤4），
可得a-b≥4或3＜a-b≤4，
綜上可得a-b的范圍是（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用零點(diǎn)存在定理和不等式的解法，屬于中檔題．