Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=-$\frac{3}{5}$．
（1）求sinA的值；    
（2）若a=4$\sqrt{2}$，b=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得：cosA=-$\frac{3}{5}$，又0＜A＜π，則可求sinA的值．
（2）由正弦定理，可求sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由題知a＞b，可求B=$\frac{π}{4}$，根據(jù)余弦定理，解得c，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）由cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=-$\frac{3}{5}$，
得cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$．
則cos（A-B+B）=-$\frac{3}{5}$，即cosA=-$\frac{3}{5}$，
又0＜A＜π，則sinA=$\frac{4}{5}$．
（2）由正弦定理，有$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
所以sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由題知a＞b，則A＞B，故B=$\frac{π}{4}$，
根據(jù)余弦定理，有（4$\sqrt{2}$）²=5²+c²-2×$5c×（-\frac{3}{5}）$，解得c=1或c=-7（負(fù)值舍去）．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×1×\frac{4}{5}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握靈活應(yīng)用公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．