Question

18．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=-1，若x、y∈[-1，1]，x+y≠0，則$\frac{f（x）+f（y）}{x+y}$＜0
（1）用定義證明，f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（2）解不等式：f（$\frac{1}{x-1}$）＜f（x+$\frac{1}{2}$）；
（3）若f（x）≥t²-2at-1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，利用x，y∈[-1，1]，x+y≠0有$\frac{f（x）+f（y）}{x+y}$＜0，可得f（x₁）+f（-x₂）＞0，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，即可得函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)減；
（2）由（1）知，-1≤x+$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{x-1}$≤1，聯(lián)立不等式組求解即可；
（3）先確定函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值為f（1）=-1，將f（x）≥t²-2at-1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，轉(zhuǎn)化為：t²-2at≤0對所有a∈[-1，1]恒成立，從而可求實數(shù)t的取值范圍．

解答 （1）證明：設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∵x，y∈[-1，1]，x+y≠0時，有$\frac{f（x）+f（y）}{x+y}$＜0．
令x=x₁，y=-x₂，
∴f（x₁）+f（-x₂）＞0，
∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)減；
（2）解：由（1）知，-1≤x+$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{x-1}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}≥-1}\\{\frac{1}{x-1}≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{3}{2}≤x＜-1$；
（3）解：由于函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值為f（1）=-1，
∴f（x）≥t²-2at-1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，可轉(zhuǎn)化為：t²-2at≤0對所有a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2t≤0}\\{{t}^{2}-2t≤0}\end{array}\right.$，解得：t=0．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，解題的關(guān)鍵是：f（x）≥t²-2at-1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，可轉(zhuǎn)化為：t²-2at≤0對所有a∈[-1，1]恒成立，是中檔題．