Question

3．命題p：方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：函數(shù)$f（x）=\frac{4}{3}{x^3}-2m{x^2}+（4m-3）x-m$在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．若p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)于命題p，根據(jù)方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得m＞2．對(duì)于命題q，由f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0對(duì)x∈R恒成立得△≤0，
由p∧q為假，p∨q為真得p與q一真一假，即可得出．

解答 解：對(duì)于命題p，∵方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，由條件可得m＞2．
對(duì)于命題q，由f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0對(duì)x∈R恒成立得△=（-4m）²-16（4m-3）≤0⇒1≤m≤3．
由p∧q為假，p∨q為真得p與q一真一假，
若p真q假時(shí)，則可得$\left\{{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m＜1或m＞3}\end{array}}\right.⇒m＞3$，
若p假q真時(shí)，則可得$\left\{{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1≤m≤3}\end{array}}\right.⇒1≤m≤2$，
綜上可得，m的取值范圍是1≤m≤2或m＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、不等式的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．