Question

5．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)的解析式為f（x）=-x²+4x-3．
（1）求這個(gè)函數(shù)在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)的解析式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求得x≤0時(shí)函數(shù)的解析式，從而得到函數(shù)在R上的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式、奇函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）-3]=x²+4x+3，
即x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x+3．
當(dāng)x=0時(shí)，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0，
所以，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，}&{x＜0}\end{array}\right.$．       
（2）作出f（x）的圖象（如圖所示）
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的減區(qū)間：
（-∞，-2）、（2，+∞）；增區(qū)間為[-2，0）、（0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，作函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．