Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x-1）³+m．
（1）若f（1）=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥x³-1在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍；
（3）設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)f″（x）的零點(diǎn)為x₀，則點(diǎn)（x₀，f（x₀））恰好就是該函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心，若m=1，試求f（$\frac{1}{1008}$）+f（$\frac{2}{1008}$）+…+f（$\frac{2014}{1008}$）+f（$\frac{2015}{1008}$）的值．

Answer 1

分析 （1）易知f（x）=（x-1）³+1，求導(dǎo)f′（x）=3（x-1）²≥0，從而判斷；
（2）由題意得（x-1）³+m≥x³-1，即m≥3x²-3x，從而解得．
（3）易知函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（1，1）；從而可得$\frac{1}{1008}$+$\frac{2015}{1008}$=$\frac{2}{1008}$+$\frac{2014}{1008}$=…=2，從而解得．

解答 解：（1）f（1）=（1-1）³+m=m=1，
故f（x）=（x-1）³+1，
f′（x）=3（x-1）²≥0，
故函數(shù)f（x）在其定義域R上單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）≥x³-1，∴（x-1）³+m≥x³-1，
即m≥3x²-3x，
∵y=3x²-3x在[1，2]上是增函數(shù)，
∴y_min=3-3=0，
∴若關(guān)于x的不等式f（x）≥x³-1在區(qū)間[1，2]上有解，
則m≥0．
（3）∵f（x）=（x-1）³+1，f′（x）=3（x-1）²，f″（x）=6（x-1）；
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（1，1）；
∵$\frac{1}{1008}$+$\frac{2015}{1008}$=$\frac{2}{1008}$+$\frac{2014}{1008}$=…=2，
∴f（$\frac{1}{1008}$）+f（$\frac{2015}{1008}$）=f（$\frac{2}{1008}$）+f（$\frac{2014}{1008}$）=…=2，且f（$\frac{1008}{1008}$）=f（1）=1，
∴f（$\frac{1}{1008}$）+f（$\frac{2}{1008}$）+…+f（$\frac{2014}{1008}$）+f（$\frac{2015}{1008}$）=2×1008-1=2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題．