Question

12．用分析法證明：已知a，b∈R且a≠b，則$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{^{2}+1}|＜|a-b|$．

Answer 1

分析 尋找使：$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{^{2}+1}|＜|a-b|$成立的充分條件，直到使不等式成立的條件顯然具備．

解答 證明：要證明$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{^{2}+1}|＜|a-b|$
只要證明|$\frac{（b-a）（b+a）}{（{a}^{2}+1）（^{2}+1）}$|＜|a-b|，而a，b∈R且a≠b，
故把|a-b|約分，只要證明|$\frac{b+a}{（{a}^{2}+1）（^{2}+1）}$|＜1
即證|a+b|＜（a²+1）（b²+1）
顯然a和b同號(hào)時(shí)|a+b|較大，所以不妨設(shè)a＞0，b＞0
只要證明a+b＜a²b²+a²+b²+1
因?yàn)閍²-a+$\frac{1}{4}$=（a-$\frac{1}{2}$）²，b²-b+$\frac{1}{4}$=（b-$\frac{1}{2}$）²，
所以a²-a+b²-b+1＞0 a²b²≥0
所以a＞0，b＞0時(shí)，a+b＜a²b²+a²+b²+1成立．
故$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{^{2}+1}|＜|a-b|$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．