Question

4．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為$\frac{1}{2}$，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|=6．

Answer 1

分析 利用橢圓的離心率以及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出橢圓的半長軸，然后求解拋物線的準(zhǔn)線方程，求出A，B坐標(biāo)，則|AB|可求．

解答 解：橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為$\frac{1}{2}$，E的右焦點(diǎn)（c，0）與拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)（2，0）重合，
可得c=2，a=4，b²=12，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，解得y=±3，
∴A（-2，3），B（-2，-3）．
則|AB|=3-（-3）=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．