Question

3．如圖所示的幾何體是由棱長為2cm的正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁被平面AB₁D₁所截得的較大部分
（1）求點C到平面AB₁D₁的距離；
（2）求AC與平面AB₁D₁所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點C到平面AB₁D₁的距離．
（2）設(shè)AC與平面AB₁D₁所成角為θ，利用向量法能求出AC與平面AB₁D₁所成角．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
C（0，2，0），A（2，0，0），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），
設(shè)平面AB₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴點C到平面AB₁D₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）設(shè)AC與平面AB₁D₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{8}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴AC與平面AB₁D₁所成角為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．