Question

13．己知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₅=5．
（Ⅰ）若b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n
 （Ⅱ）若c₁=a₁，c_n-c_n-1=a_n，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a₂=2、a₅=5可知等差數(shù)列{a_n}的公差d=1，進(jìn)而可得其通項(xiàng)公式，計(jì)算即得結(jié)論；
（II）通過（I）可知，當(dāng)n≥2時c_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)n=1時成立即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂=2，a₅=5，
∴d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{3-2}$=1，
所以a_n=2+（n-2）=n，b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，
于是S_n=2¹+2²+…+2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-2；
（II）由（I）可知，當(dāng)n≥2時c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=a_n+a_n-1+…+a₂+a₁
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵c₁=1滿足上式，
∴c_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．