Question

11．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x+3，
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出f（x）的草圖（要求：要標(biāo)出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn)），然后寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)y=a的圖象與y=f（x）的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（Ⅲ）利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x+3，
∴f（0）=0，
當(dāng)x＜0，則-x＞0，即f（-x）=-x²-2x+3=-f（x），
即f（x）=x²+2x-3，x＜0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3，}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{{x}^{2}+2x-3，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出f（x）的草圖如圖：
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-1，0）；（0，1]．
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1]；[1，+∞）．
（Ⅲ）若函數(shù)y=a的圖象與y=f（x）的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
則由圖象知a=4或a=-4或-3≤a≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．