Question

11．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=-x²+2x+3，
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）在所給的坐標系中畫出f（x）的草圖（要求：要標出與坐標軸的交點，頂點），然后寫出f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)y=a的圖象與y=f（x）的圖象恰有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的性質即可求f（x）的表達式；
（Ⅱ）根據(jù)分段函數(shù)結合一元二次函數(shù)的圖象和性質進行求解即可；
（Ⅲ）利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=-x²+2x+3，
∴f（0）=0，
當x＜0，則-x＞0，即f（-x）=-x²-2x+3=-f（x），
即f（x）=x²+2x-3，x＜0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3，}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{{x}^{2}+2x-3，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）在所給的坐標系中畫出f（x）的草圖如圖：
則f（x）的單調增區(qū)間為：[-1，0）；（0，1]．
單調遞減區(qū)間為（-∞，-1]；[1，+∞）．
（Ⅲ）若函數(shù)y=a的圖象與y=f（x）的圖象恰有兩個交點，
則由圖象知a=4或a=-4或-3≤a≤3．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的對稱性結合一元二次函數(shù)的圖象和性質是解決本題的關鍵．