Question

20．已知直線l經過點P（2，1），與直線x+2y-3=0和2x+y-6=0分別交于A，B兩點，而且線段AB被點P平分．
（1）求直線1的方程；
（2）若圓C的圓心在l上，與直線4x+3y+14=0相切，且直線3x+4y+10=0被此圓截得弦長為6，試求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設A（m，n），B（4-m，2-n），分別代入直線x+2y-3=0和2x+y-6=0，求出A點坐標，利用兩點式方程能求出直線l的方程．
（2）設圓C（x，x-1），利用點到直線的距離公式圓心到直線距離d=R和圓心C（x，x-1）到直線3x+4y+10=0距離d₁，由直線3x+4y+10=0被此圓截得弦長為6，利用勾股定理能求出半徑和圓心，由此能求出圓C的方程．

解答 解：（1）∵直線l經過點P（2，1），與直線x+2y-3=0和2x+y-6=0分別交于A，B兩點，而且線段AB被點P平分，
∴設A（m，n），B（4-m，2-n），
則$\left\{\begin{array}{l}{m+2n-3=0}\\{2（4-m）+（2-n）-6=0}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{5}{3}$，n=$\frac{2}{3}$，
∴A（$\frac{5}{3}$，$\frac{2}{3}$），∵直線l過A（$\frac{5}{3}$，$\frac{2}{3}$），P（2，1），
∴直線l的方程為：$\frac{y-1}{x-2}=\frac{\frac{2}{3}-1}{\frac{5}{3}-2}$，
整理，得x-y-1=0．
（2）∵圓C的圓心在直線L1：x-y-1=0上
∴設C（x，x-1），
∵圓C與直線4x+3y+14=0相切，∴圓心到直線距離d=R，
∴R=$\frac{|4x+3（x-1）+14|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|7x+11|}{5}$，
圓心C（x，x-1）到直線3x+4y+10=0距離：
d₁=$\frac{|3x+4（x-1）+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{|7x+6|}{5}$，
∵直線3x+4y+10=0被此圓截得弦長為6，
∴（$\frac{6}{2}$）²+（$\frac{|7x+6|}{5}$）²=（$\frac{|7x+11|}{5}$）²，
解得x=2，∴R²=（$\frac{|7x+11|}{5}$）²=25，圓心C（2，1）
∴圓C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=25．

點評 本題考查直線方程和圓的方程的求法，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．