Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2|x|-3，（x∈[-4，4]）．
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f（x）是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)的定義域以及判斷f（-x）=f（x），證明f（x）是偶函數(shù)．
（2）去掉絕對值符號，得到函數(shù)的解析式，然后畫出函數(shù)的圖象．寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）分別通過當(dāng)x≥0時，當(dāng)x＜0時，求出函數(shù)f（x的最小值，最大值，得到函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）因為x∈[-4，4]，所以f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．
對定義域內(nèi)的每一個x，都有f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)0≤x≤4時，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4；
當(dāng)-4≤x＜0時，f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4．
函數(shù)f（x）的圖象如圖所示．
由圖知函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為
[-4，-1），[-1，0），[0，1），[1，4]．
f（x）在區(qū)間[-4，-1）和[0，1）上單調(diào)遞減，
在[-1，0）和[1，4]上單調(diào)遞增．
（3）當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-4的最小值為-4，最大值為f（4）=5；
當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）=（x+1）²-4的最小值為-4，最大值為f（-4）=5．
故函數(shù)f（x）的值域為[-4，5]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的圖象的作法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查計算能力．