Question

2．已知橢圓W：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，Q是橢圓上的任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q到橢圓左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離和為4．
（Ⅰ）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且互相垂直的直線l₁、l₂分別與橢圓交于A、B和C、D兩點(diǎn)（A、B、C、D都不與橢圓的頂點(diǎn)重合），E、F分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若k_OE、k_OF分別是直線OE、OF的斜率，求證：k_OE•k_OF為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點(diǎn)Q到橢圓左右焦點(diǎn)的距離和為4．可得a=2，利用離心率，可解得c，然后求解b，即可求得橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由已知設(shè)l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1；點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、E（x_E，y_E）、F（x_F，y_F），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kx-8=0，由△＞0，可解得k_OK，k_OF，從而可求解k_OE•k_OF=-$\frac{9}{16}$．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）∵點(diǎn)Q到橢圓左右焦點(diǎn)的距離和為4．
∴2a=4，a=2．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴c=1，b²=a²-c²=3．
∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$                            …（5分）
（Ⅱ）∵直線l₁、l₂經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且互相垂直，又A、B、C、D都不與橢圓的頂點(diǎn)重合
∴設(shè)l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1；點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、E（x_E，y_E）、F（x_F，y_F），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kx-8=0
∵點(diǎn)（0，1）在橢圓內(nèi)，∴△＞0
∴x₁+y₁=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，
∴x_E=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$，y_E=kx_E+1=$\frac{3}{3+4{k}^{2}}$
∴k_OK=$\frac{{y}_{K}}{{x}_{K}}$=-$\frac{3}{4k}$，
同理k_OF=$\frac{{y}_{F}}{{x}_{F}}$=-$\frac{3}{4（-\frac{1}{K}）}$=$\frac{3k}{4}$，
∴k_OE•k_OF=-$\frac{9}{16}$．                                          …（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于難題．