Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）在直角坐標(biāo)系下求曲線C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D在曲線C上，曲線C在D處的切線與直線l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的曲線C的方程，在直角坐標(biāo)系下求D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．可得ρ²=2ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程；
（2）利用圓的方程：（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cos\frac{π}{3}}\\{y=sin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，即可得出直角坐標(biāo)．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．可得ρ²=2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x，配方為：（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．
（2）利用圓的方程：（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cos\frac{π}{3}}\\{y=sin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，可得D的直角坐標(biāo)系為$（1+cos\frac{π}{3}，sin\frac{π}{3}），即（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．