Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-a|x-2|，其中a＞0
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[2，4]，有f（x）＞0恒成立，求a的范圍；
（3）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，若函數(shù)f（x）的最大、最小值分別為M（a）、N（a），求M（a）-N（a）

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)x≥2時(shí)，當(dāng)x＜2時(shí)，求出對稱軸，討論與區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得x²-a|x-2|＞0，x=2時(shí)，不等式顯然成立；2＜x≤4時(shí)，即有a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$，運(yùn)用基本不等式，可得最小值，進(jìn)而得到a的范圍；
（3）去掉絕對值，求出對稱軸，討論當(dāng)0＜a≤4時(shí)，當(dāng)4＜a≤6時(shí)，當(dāng)a＞6時(shí)，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性可得最值，進(jìn)而f（x）的最值，可得它們的差．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-|x-2|，
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-x+2=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
可得在x≥2時(shí)，f（x）遞增；
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=x²+x-2=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
可得在x≤-$\frac{1}{2}$，f（x）遞減；在-$\frac{1}{2}$＜x＜2時(shí)，f（x）遞增．
綜上可得f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）當(dāng)x∈[2，4]，有f（x）＞0恒成立，
即為x²-a|x-2|＞0，x=2時(shí)，不等式顯然成立；
2＜x≤4時(shí)，即有a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4，
由0＜x-2≤2，可得（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{4}{x-2}}$+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x-2=2即x=4時(shí)，取得最小值8，
則a的范圍是（0，8）；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-2a，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+2a，2＜x≤4}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$＜0，f（x）在[0，2]遞增，
即有f（0）為最小值且為-2a，f（2）為最大值4；
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，當(dāng)0＜a≤4時(shí)，$\frac{a}{2}$≤2，（2，4]為增區(qū)間，
即有f（x）的最小值為f（2）=4，f（4）=16-2a；
當(dāng)4＜a≤6時(shí)，f（x）的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=2a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，最大值為f（4）=16-2a；
當(dāng)a＞6時(shí)，f（x）在（2，4]遞減，可得f（4）最小，且為16-2a．
綜上可得，當(dāng)0＜a≤6時(shí)，M（a）=16-2a，N（a）=-2a，M（a）-N（a）=16；
當(dāng)a＞6時(shí)，M（a）=4，N（a）=-2a，M（a）-N（a）=4+2a．

點(diǎn)評 本題考查帶絕對值問題的單調(diào)性和恒成立，以及最值問題的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及去絕對值的方法，正確分類和討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．