Question

9．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足：a²+b²=8$\sqrt{ab}$．
（1）求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{1}{2}$；
（2）若a＞b，且a-b≤m對(duì)任意的a，b恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用基本不等式求得$\sqrt{ab}$≤4，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$≥$\frac{1}{2}$．
（2）由題意可得m²≥（a-b）²=（a²+b²-2ab）恒成立，m＞0，由a²+b²=8$\sqrt{ab}$，可得 m²≥（8$\sqrt{ab}$-2ab），
求得8$\sqrt{ab}$-2ab取得最大值，可得m²的最小值，從而求得m的最小值．

解答 解：（1）∵正實(shí)數(shù)a，b滿足：a²+b²=8$\sqrt{ab}$≥2ab，∴$\sqrt{ab}$≤4，$\frac{1}{\sqrt{ab}}$≥$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$≥$\frac{1}{2}$．
（2）∵a＞b，且a-b≤m對(duì)任意的a，b恒成立，且m＞0．
即m²≥（a-b）²=（a²+b²-2ab）恒成立．
由a²+b²=8$\sqrt{ab}$，可得 m²≥（8$\sqrt{ab}$-2ab）=-2（$\sqrt{ab}$-2）²+8．
由于當(dāng)$\sqrt{ab}$=2時(shí)，8$\sqrt{ab}$-2ab取得最大值為8，∴m²≥8，m≥2$\sqrt{2}$，
即m的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，式子的變形轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．