Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-4（a∈R）的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，設(shè)x₁＜x₂．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，證明：-2＜x₁＜0；
（2）若函數(shù)g（x）=x²-|f（x）|在區(qū)間（-∞，-2）和（2，+∞）上均單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）使用求根公式解出x₁，利用a的范圍和不等式的性質(zhì)得出；
（2）求出g′（x），令g′（x）＞0，結(jié)合函數(shù)圖象討論a的范圍，

解答 解：（1）令f（x）=0解得x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$．
∵$\sqrt{{a}^{2}+16}$＞$\sqrt{{a}^{2}}$=a，∴$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$＜0．∵a＞0，∴$\sqrt{{a}^{2}+16}$＜$\sqrt{{a}^{2}+8a+16}$=a+4，∴$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{2}$＞$\frac{a-（a+4）}{2}$=-2．
∴-2＜x₁＜0．
（2）g（x）=x²-|x²-ax-4|，∴g′（x）=2x-|2x-a|，
∵g（x）在區(qū)間（-∞，-2）和（2，+∞）上均單調(diào)遞增，∴g′（x）＞0，即2x＞|2x-a|，（x＞2）．
當(dāng)a=0時(shí)，顯然不成立，
若a＞0，作出y=2x和y=|2x-a|的函數(shù)圖象如圖：

∴0＜$\frac{a}{4}≤2$，解得0＜a≤8．
若a＜0，作出y=2x和y=|2x-a|的函數(shù)圖象如圖：

有圖象可知2x＜|2x-a|，故g′（x）＞0不成立，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（0，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合的、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．