Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1滿足彖件：（1）焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；（2）離心率為$\frac{5}{3}$，求得雙曲線C的方程為f（x，y）=0．若去掉條件（2），另加一個條件求得雙曲線C的方程仍為f（x，y）=0，則下列四個條件中，符合添加的條件共有   （　�。�
①雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的任意點P都滿足||PF₁|-|PF₂||=6
②雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的虛軸長為4
③雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個頂點與拋物線y²=6x的焦點重合
④雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為4x±3y=0．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用已知條件求出雙曲線方程，然后通過其它體積求出雙曲線的標準方程，即可判斷選項．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1滿足彖件：（1）焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；（2）離心率為$\frac{5}{3}$，
可得c=5，a=3，可得b=4，
可得雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1滿足彖件：（1）焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；①雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的任意點P都滿足||PF₁|-|PF₂||=6，可得c=5，a=3，可得b=4，
可得雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．①滿足題意．
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1滿足彖件：（1）焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；②雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的虛軸長為4，可得b=2，顯然不滿足題意．
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1滿足彖件：（1）焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；③雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個頂點與拋物線y²=6x的焦點重合，拋物線的焦點坐標（$\frac{3}{2}$，0），a=$\frac{3}{2}$≠3，顯然不滿足題意．
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1滿足彖件：（1）焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；④雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為4x±3y=0．可得$\frac{a}=\frac{4}{3}$，c=5，解得a=3可得b=4，
可得雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，標準方程的求法，命題的真假的判斷，是基礎題．