Question

17．已知圓C：x²+y²-8y+14=0，直線l過(guò)點(diǎn)（1，1）
（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（2）當(dāng)l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且|AB|=2時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）確定圓心與半徑，利用直線l與圓C相切，分類(lèi)討論，即可求直線l的方程；
（2）由${d^2}+{1^2}={（\sqrt{2}）^2}$，得d=1，分類(lèi)討論，即可求出直線l的方程．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-8y+14=0，配方，得x²+（y-4）²=2，
圓心C（0，4），半徑$r=\sqrt{2}$，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x=1，此時(shí)l不與圓相切．    2分
②若直線l的斜率，設(shè)l：y-1=k（x-1），由$d=\frac{{|{3+k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}$得k=7或-1，（4分）
所以直線方程為7x-y-6=0或x+y-2=0（6分）
（2）由${d^2}+{1^2}={（\sqrt{2}）^2}$，得d=1，
①若當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x=1，滿足題意      （8分）
②若直線l的斜率存在，設(shè)l：y-1=k（x-1）由${（\frac{{|{3+k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}）^2}+1=2$
得$k=-\frac{4}{3}$，此時(shí)l：4x+3y-7=0x=1（10分）
綜上所述l方程為x=1或4x+3y-7=0（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．