Question

15．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=-x²+2x．
（1）寫出該函數(shù)的解析式；
（2）在給定的圖示中畫出函數(shù)f（x）的圖象（不需列表）；
（3）寫出該函數(shù)值域，單調(diào)區(qū)間（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0，則-x＞0，根據(jù)函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=-x²+2x+1，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，可得函數(shù)的圖象；
（3）利用函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的值域．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0
因為函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=-x²-2x
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

（3）由圖象可知：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（0，1），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），f（x）的值域是（-∞，1]．

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．