Question

20．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為2ⁿ-1，求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n²}前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴a_n=2^n-1．
（2）${a}_{n}^{2}$=（2^n-1）²=4^n-1，
∴數(shù)列{a_n²}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．
∴數(shù)列{a_n²}前n項(xiàng)和=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．