Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n，求a_n．

Answer 1

分析 通過在a_n+1=a_n²+2a_n，兩邊同時(shí)加上1，利用完全平方公式可知a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，通過在其兩邊同時(shí)取對數(shù)可構(gòu)造以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列{log₃（a_n+1）}，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴l(xiāng)og₃（a_n+1+1）=log₃$（{a}_{n}+1）^{2}$=2log₃（a_n+1），
又∵log₃（a₁+1）=log₃（2+1）=1，
∴數(shù)列{log₃（a_n+1）}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)og₃（a_n+1）=2^n-1，
∴a_n=-1+${3}^{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．